Das zentrale Grenzwerttheorem (ZGT) zeigt auf eindrucksvolle Weise, dass die „magische“ Glockenkurve normaler Verteilungen in zahlreichen realen Situationen auftritt, oft unabhängig von der ursprünglichen Form der Daten. Diese Erkenntnis wirft die Frage auf: Warum ist das so?
Das ZGT basiert auf einer grundlegenden statistischen Regel: Wenn man genügend Stichproben aus beliebigen Daten zieht und deren Mittelwerte berechnet, nähern sich diese Mittelwerte einer Normalverteilung – unabhängig von der ursprünglichen Form der Daten.
Um das Verständnis zu fördern, werden in diesem Artikel drei visuelle Beweise präsentiert, die zeigen, wie die klassische Glockenkurve in verschiedenen Szenarien auftritt.
1. Würfeln mit mehreren Würfeln
Wenn man einen einzelnen sechsseitigen Würfel häufig wirft, erhält man intuitiv eine flache, gleichmäßige Verteilung. Die Situation ändert sich jedoch, wenn mehrere Würfel gleichzeitig geworfen werden – zum Beispiel fünf auf einmal. Berechnet man den Durchschnitt dieser Würfelergebnisse und stellt sie grafisch dar, entsteht eine Glockenkurve, die um die Mittelwerte 3 und 4 gipfelt. Diese Durchschnittswerte treten deutlich häufiger auf als die Extremwerte 1 und 6, die erfordern, dass alle Würfel niedrig (oder hoch) ausfallen – was intuitiv schwieriger zu erreichen ist als eine Ausgleichung durch gemischte Ergebnisse.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Simulation von 100.000 Durchschnittswerten aus 5 Würfen: obere Grenze von 7 ist in randint() ausgeschlossen
würfel_durchschnitte = [np.mean(np.random.randint(1, 7, 5)) for _ in range(100000)]
plt.hist(würfel_durchschnitte, bins=20, edgecolor='black', color='skyblue')
plt.title("Verteilung der Durchschnittswerte von 5 Würfen")
plt.show()2. Durchschnittliche Bildschirmzeit einer geteilten Nutzergruppe
Stellen Sie sich eine Video-App vor, in der die Nutzer in zwei deutlich unterschiedliche Kategorien fallen: Entweder bleiben sie nur 1–2 Minuten oder sie sind „Deep Scroller“, die 30 Minuten oder länger bleiben – es gibt keine Nutzer dazwischen. Die Rohdaten würden eine bimodale Verteilung mit einem zentralen, tiefen Tal zeigen. Wenn jedoch wiederholt zufällige Gruppen von beispielsweise 40 Nutzern ausgewählt werden, deren durchschnittliche Bildschirmzeit berechnet wird, ändert sich das Bild. Die Verteilung der Durchschnittswerte ignoriert das Tal zwischen den beiden Gipfeln und verwandelt sich in eine Glockenkurve.
# Erstellen einer bimodalen Verteilung (schnelle Nutzer und Deep Scroller)
quick = np.random.normal(2, 0.5, 50000)
deep = np.random.normal(30, 5, 50000)
bimodale_population = np.concatenate([quick, deep])
# 10.000 Stichproben von jeweils 40 Nutzern ziehen und Bildschirmzeiten mitteln
bildschirmzeit_durchschnitte = [np.mean(np.random.choice(bimodale_population, 40)) for _ in range(10000)]
plt.hist(bildschirmzeit_durchschnitte, bins=30, edgecolor='black', color='mediumpurple')
plt.title("Durchschnittswerte der bimodalen Bildschirmzeiten für 10K 40-Nutzer-Stichproben")
plt.show()3. Glättung chaotischer Schiefe: Durchschnittseinkommen
Ein weiteres Beispiel für das ZGT in der Praxis. Die Vermögensverteilung ist, um ehrlich zu sein, bemerkenswert rechtsschief, wobei die Mehrheit der Bevölkerung näher am unteren Ende angesiedelt ist. Die wohlhabende Minderheit bildet daher einen langen Schwanz, der nach rechts reicht.
Dieses Bild ändert sich, wenn man zufällig beispielsweise 50 Personen auswählt und deren Einkommen mittelt. Wenn dieser Stichprobenprozess mehrere tausend Male wiederholt und die erhaltenen Durchschnittswerte grafisch dargestellt werden, ergibt sich – was könnte man an dieser Stelle anderes erwarten? – eine nahezu perfekt symmetrische Glockenkurve: Die finanziellen Ausreißer werden durch die bescheidenere Menge geglättet.
# Generierung stark schiefer "Einkommens"-Daten (exponentielle Verteilung)
population = np.random.exponential(scale=50000, size=100000)
# 10.000 Stichproben von 50 Personen ziehen und mitteln
einkommens_durchschnitte = [np.mean(np.random.choice(population, 50)) for _ in range(10000)]
plt.hist(einkommens_durchschnitte, bins=30, edgecolor='black', color='salmon')
plt.title("Durchschnittswerte von schiefen Vermögensstichproben")
plt.show()Iván Palomares Carrascosa ist ein führender Experte, Autor, Redner und Berater im Bereich KI, maschinelles Lernen, Deep Learning und LLMs. Er schult und leitet andere dabei, KI in der realen Welt zu nutzen.
Quellen: kdnuggets
Bildquelle: KI generiert
Dieser Text wurde mit Hilfe von künstlicher Intelligenz in Zusammenarbeit mit unserer Redaktion erstellt.
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